第6章 大数定理和中心极限定理.ppt

若随意观察n(n<10000)个学生的身高X1, X2 ,…, Xn ,则n个数据的均值(X1+X2+…+Xn )/n,随着n的增大而与a接近。Р定义设X1, X2,…,Xn, …是随机变量序列,Р如果存在一个常数序列{an},对,有Р则称随机变量序列{Xn}服从大数定律。Р定理1 (辛钦大数定理) 设X1, X2 ,…, Xn …是独立同分布的随机变量,记它们的公共均值为a,又设它们的方差存在,并记为2,随机变量的频率为,则对任意给定的>0,有Р定理1的意义:随着n的增大, 依概率意义越来越接近a;而不接近a的可能性越来越小。? (该定理的证明需要用契比雪夫不等式。)Р6.1.1 马尔科夫不等式? 若X是只取非负值的随机变量,则对任意常数>0,有Р证明Р6.1.2 契比雪夫不等式? 若D(X)存在,则对任意常数>0,有Р证明Р定理1的证明:Р6.1.3 伯努利大数定理(频率收敛于概率)? 设pn是n重伯努利试验中事件A出现的频率( ),在每次试验中P(A)=p是常数,设Xn~B(n,p),其中n=1,2, …, ( 0<p<1)则对任意正数>0,有Р 伯努利大数定理的意义:随着n的增大,依概率意义讲,频率pn越来越接近概率p,而pn不接近p的可能性越来越小。?但不能说: 。因为可能有 pn  p 情形(虽然这些例外情形出现的概率趋于0)。Р证明:Р6.2 中心极限定理? 设X1, X2 ,…, Xn …是一系列随机变量,通常把论证和函数X1+X2+…+Xn的分布收敛于正态分布的这类定理叫做“中心极限定理”。?定理2 (莱维-林德伯格(Levy-Lindberg)定理)、(独立同分布的中心极限定理) ? 设X1, X2 , …, Xn…是独立同分布的随机变量,它们有相同的均值E(Xi)=a,和相同的方差为D(Xi)=2 (0<<+), 则对任意实数x,有