中值定理中介点的极限

函数 xf )( 在]1,0[ 上连续,在)1,0( 内可微,且满足: Р f = ′≤ xfxf ).()(,0)0( Р证明: ≡ xxf ∈].1,0[,0)( Р 3 柯西中值定理Р 例 59(四川师大)设函数 xf )( 在ba ),( 内可微, ba > 0, ,且+ bfaf −)0(),0( 均存Р在有限. 试证: ∃ξ∈ ba ),( ,使得Р 1 baР −= ff ′ξξξ)()( . Р − ba bfaf −+ )0()0(Р 分析:补充定义+= = bfbfafaf −)0()(),0()( ,则上式可化为Р bf af )()(Р −Р b a −= ff ′ξξξ)()( . Р 11Р −Р abР xf )( 1Р令 xF )( = xG )(, = ,则 xGxF )(),( 在ba ],[ 满足 Cauchy 中值定理的条件.利用Р x xРCauchy 中值定理立明. Р 思考题 18(人民大学 2000)设函数xf )( 在⋅ baba > )0(],[ 上连续,在ba ),( 内可微. 证Р明: ξ∈∃ ba ),( ,使得Р 1 baР −= ff ′ξξξ)()( . Р − ba bfaf −+ )0()0(Р 例 60(华中师大 2002,吉林大学) 设函数xf )( 在ba ],[ 连续,在ba ),( 可微,0 <≤ ba . Р证明:存在ξη∈ ba ),(, ,使得Р + baР f ′ξ)( = f ′η)( . Р 2ηР 分析:上式可化为Р f ′ f ′ηξ)()(Р = . Р + ba 2ηР令= )(),()( = xxGxfxF 2 ,应用柯西中值定理得Р ′η)( − afbff − afbf 1)()(1)()(Р = = = f ′ξ)( . Р 2η− ab 22 + ba −+ baab