专升本高数重点—第一章函数极限和连续

调有界函数必有极限.(函数有界一般是指在某个邻域内有界)Р(五)两个重要极限Р1.,可引申为,式中不管自变量是哪种趋向,只要在此趋向下即可(或时亦成立).Р2. 或,可引申为(或时亦成立)或(或时亦成立).Р说明:数列亦有第二种极限形式,即.两个重要极限是考试的必考内容,请大家务必好好掌握.Р(六)无穷小和无穷大Р1.定义Р(1)无穷小的定义:如果函数当(或)时的极限为零,那么称函数为当(或)时的无穷小量(简称无穷小).特别地,以零为极限的数列称为时的无穷小.Р说明:以后我们再提到无穷小时,把数列当作特殊的函数来看待,故所谓的无穷小本质上就是函数,并且一定是在自变量的某一趋向下才有意义.Р(2)无穷大的定义:如果在自变量的某一变化过程中,函数的绝对值无限增大,则称函数为自变量在此变化过程中的无穷大量(简称无穷大).Р说明:在自变量的同一变化过程中,如果为无穷大,则为无穷小;反之,如果为无穷小且,则为无穷大.Р2.无穷小的比较Р设,均为自变量同一趋向下的无穷小,且,Р(1)如果,则称是比高阶的无穷小,记作;Р(2)如果,则称是比低阶的无穷小;Р(3)如果,则称与是同阶无穷小;Р(4)如果,则称与是等价无穷小,记作;Р(5)如果,,则称是关于的阶无穷小.Р3.无穷小的性质Р(1)有限个无穷小的和是无穷小.Р(2)常数与无穷小的乘积是无穷小.Р(3)有限个无穷小的乘积是无穷小.Р(4)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.Р(5)求两个无穷小之比的极限时,分子及分母都可用等价无穷小来替换,即设,,,均为自变量同一趋向下的无穷小,且,,存在,则(表示自变量的任一趋向下的极限,以后文中出现此符号时均为此意,不再解释).Р说明:等价无穷小非常重要,故将常用的等价无穷小列举如下,请大家务必牢记.Р时,可引申为时,;Р时,可引申为时,;Р时,可引申为时,;Р时,可引申为时,;Р时,可引申为时,;