若第 i 个人和第 j 个人都拿到自己的帽子则 XiXj = 1,否则 XiXj = 0,可得Р 1Р EX X = P(X = 1,X = 1) = P(X = 1)P(X = 1|X = 1) =Р i j i j j i j n(n − 1)Р nР 所以可计算得 EX = ∑i=1 EXi = 1,Р −Р 2 − 2 · 1 · (n 1)nР VarX = EX (EX) = 2 ∑ EXiXj = 2 −= 1.Р 1≤i< j≤n n(n 1) 2Р 2Р 习题 42 试给出前面例题中离散型分布和连续性分布的期望和方差.Р 例 43 考虑概率空间(Ω= [0,1],B[0,1],P = L) 上随机变量Р {Р 1, 若ω是无理数;Р X(ω) =Р 0, 若ω是有理数.Р 则 EX = 1 · P(ω∈[0,1] : ω是无理数) + 0 · P(ω∈[0,1] : ω是有理数) = 1. 事实上这里用到了Р“有理数是可数的”以及单点集的 Lebesgue 测度为 0,所以 P(ω∈[0,1] : ω是无理数) = 1.Р 这表明按照均匀分布在[0,1] 区间生成的随机数几乎处处都是无理数,但是在蒙特卡洛模拟Р 中我们得到的几乎都是“有理随机数”,称这些数为伪随机数.Р 设(Ω,F,P) 为完备概率空间,若 B ∈ F 并且 P(B) > 0,定义Р PB(A) := P(A|B) = P(AB)/P(B), A ∈ F. (1)Р 易知 PB(·) 是可测空间(Ω,F) 上的概率测度,因此(Ω,F,PB) 为一概率空间. 自然可以对定义Р 在该空间上的随机变量定义期望. 假设 X 是可测空间(Ω,F) 上随机变量,定义 PB(·) 下的期Р 望为Р ∫∫Р PBР E X := X(ω)PB(dω) = X(ω)P(dω)/P(B). (2)Р Ω B
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