章随机积分— Ito积分Р第一节引言Р第二节 Ito积分的理论Р第三节 Ito积分的特征Р第四节 Ito定理及应用Р第五节更复杂情况下的Ito公式Р第一节引言Р一、 Ito积分的导出Р在物理现象中是用微分方程来描述其模型,而建立微分方程是从导数定义出发。并可根据微分与积分的关系,建立相应的积分方程。Р但在随机环境中,由于不可预测的“消息”不断出现,并且表示现象动态性的等式是这些噪音的函数,这就无法定义一个有效的导数,建立一个微分方程。然而,在某些条件下可以定义一个积分— Ito积分,建立积分方程。Р首页Р前面讨论的随机微分等式,其中的项都只是近似讨论,而没给出精确的解释。但如果给出Ito积分的定义,反过来才能更确切地讨论。Р即若用微分方程Р代表资产价格的动态行为,Р那么能否对两边取积分,即Р也就是说,是否等式右边第二项的积分有意义?Р为解释此项积分的含义,需引进Ito积分Р首页Р也就是说,一旦定义Ito积分,则上积分等式才有意义Р即有Р其中h为一定的时间间隔。Р若Р则上等式改写为Р即Р或Р这正是在固定间隔下的随机微分方程表示式Р首页Р此表示式为一近似式,其精确公式为Р二、Ito积分的重要性Р首先Р随机微分方程只能根据Ito积分方程来定义,要理解随机微分方程的真正含义,必须首先理解Ito积分。Р其次Р在实际运用当中,经常先用固定的时间间隔,得出随机微分方程的近似值,然后再通过Ito积分就可以给出近似值的精确形式。Р返回Р首页Р第二节 Ito积分的理论РIto积分是用来定义随时间的变化无法统计和不可预测的随机增量的总和。Р布朗运动Р如果Р标准布朗运动Р一、Ito积分的定义Р首页Р定义1Р满足Р作和式Р如果均方极限Р存在Р则称Р记为Р首页Р注意Р在定义中不能按通常的黎曼积分那样作和式Р原因是Р即Р所以这里取固定的左端点。Р定理1Р首页Р定理2Р则Р证Р令Р则Р首页Р因为Р0Р首页
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