1)地面为连续曲面.(2)相对于地面的弯曲程度而言,方桌的脚是足够长的.(3)只要有一点接触地面,就应视为已经着地,即将与地面的接触看成几何上的点接触.现在,我们来证明这一结论.先作如下设想:设方桌的俯视图如下图,四条腿分别在处,方桌的中心为.yBθCAxOD取对角线初始所在的直线为轴,所在的直线为轴.当方桌绕中心转动时,对角线与初始位置的夹角记为.记两腿到地面的距离之和为,两腿到地面距离之和为,当地面是连续曲面时,均为的连续函数.又根据(2),腿是足够长的,故三条腿总能同时着地,因此必成立.现不妨设(即初始时刻两腿着地),而(否则已四腿着地).于是,方桌问题归化为以下的数学问题:已知和是的连续函数,,,且对任意有,求证存在某一,使得.证明当时,与互换了位置,故.取,显然.因为连续,由上确界定义必有,且对任意,又有.这样,由又可推得,再根据的连续性及的任意性即可得出,证毕.答案一、填空1、 2、 3[-3,-2][2,4] 4、 5、 6 7、 8、 9、 10、二、选择1、A 2、C 3、A 4、D 5、D 6、B 7、A 8、B三、计算1、解:的定义域为,,即: (1)、(2)、 D2、解:令, , 的定义域为3、解: 令, 此时:;,此时: 4、解:设,由于是奇函数, 对任意有当时,, ,而, ,即:, 在(-,0)上,四、应用题1、解:设购买量为单位,则成本函数,收益函数利润函数2、解:设电视机的市场需求量为Q台,单位价格为元,线性函数为:Q=, 代入,当=500元时,Q=2000,得Q=(1)当=450时,Q=2400,得 Q= (2)由(1)(2)得,过且过所求需求函数为:3、解:设每天生产该商品件,则每天成本为(元),每天收入,为了每天不亏本,则,即:得(件),即:若要不亏本,则每天至少应生产该商品400件。五、把换成,代入(1) 得(2) ,由(1)(2)得
全文预览
