;解:取为平面的上侧被围成的部分,的单位法向量。由Stokes公式,得第十一章综合练习题1.填空题:(1)已知为椭圆,其周长为,则12a;(2)已知为直线上从点到点的直线段,则1;(3)设是以点,,为顶点的三角形正向边界,则0;(4)曲线积分与路径无关,则可微函数应满足条件;*(5)设为平面在第一卦限的部分,取上侧,则0.2.求下列曲线积分:?(1),其中为球面被平面所截得的圆周;解:在的方程中,由于x,y,z循环对称,故,于是*(2),其中是以为圆心,为半径的正向圆周;解:,。作足够小的椭圆,取顺时针方向,由格林公式,得。所以*3.在过点和的曲线族中,求一条曲线,使该曲线从到积分的值最小.解:令,则。所以所以得驻点。又,故在取得最小值,从而为。*4.设曲线积分与路径无关,其中具有连续的导数,且,计算.解:,,由于积分与路径无关,所以,即,从而。由,知,所以。于是。5.计算下列曲面积分:(1),其中为圆柱面介于与之间的部分;解:在的方程中,由于x与y循环对称,故,于是*(2),其中为下半球面的上侧;解:设平面,取下侧。和围成的下半球体为。由格林公式得:近三年考研真题(2013年)1.设,,,为四条逆时针方向的平面曲线,记,则()(A)(B)(C)(D)(2012年)2.设,则(2011年)3.设L是柱面方程与平面的交线,从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分(2011年)4.已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周到点(2,0),再沿圆周到点(0,2)的曲线段,计算曲线积分。近三年考研真题解析(2013年)1.解析:由格林公式:,在内,因此。而在在外,因此。可得。(利用极坐标分别计算出和)(2012年)2.解析:由曲面积分的计算公式可知:,其中,故原式=。(2011年)3.解析:由斯托克斯公式得:(2011年)4.解析:设圆为,圆为,所补的直线为,由格林公式得:原式
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