数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.(4)设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则①x1x2=,y1y2=-p2.②弦长|AB|=x1+x2+p=(α为弦AB的倾斜角).③以弦AB为直径的圆与准线相切.④通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦.跟踪训练3已知抛物线C:x2=2py(p>0)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在A,B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上,求p的值;(2)若△ABN面积的最小值为4,求抛物线C的方程.解(1)可设AB:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),将AB的方程代入抛物线C,得x2-2pkx-2p=0,Δ=4p2k2+8p>0,显然方程有两不等实根,则x1+x2=2pk,x1x2=-2p.①由x2=2py得y′=,则A,B处的切线斜率乘积为=-=-1,则有p=2.(2)设切线AN为y=x+b,又切点A在抛物线y=上,∴y1=,∴b=-=-,∴yAN=x-.同理yBN=x-.又∵N在yAN和yBN上,∴解得N.∴N(pk,-1).|AB|=|x2-x1|=,点N到直线AB的距离d==,S△ABN=·|AB|·d=≥2,∴2=4,∴p=2,故抛物线C的方程为x2=4y.直线与圆锥曲线问题的求解策略例(15分)已知抛物线C:y=mx2(m>0),焦点为F,直线2x-y+2=0交抛物线C于A,B两点,P是线段AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标;(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3,求此时m的值;(3)是否存在实数m,使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.规范解答
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