自动回避与轴重合的情况)Р联立得,,令得Р(时取等),所以面积的最大值为,此时直线的方程为,即。Р【分析】比较两种设直线的方法,显然可知在此题中,“点斜式变形”更有优势!有些题目里,会出现两条直线,若两条直线的斜率有关系的话,“点斜式”还可以用在两条直线中。Р例3. 过椭圆上一点,任作两条倾斜角互补的直线,分别交椭圆于两点,Р求证:直线的斜率为定值。Р【分析】倾斜角互补,则斜率互为相反数,设一个可将两条直线全部搞定。Р证明:∵两直线倾斜角互补,∴斜率互为相反数,设。联立与椭圆Р可得,由韦达定理得,即Р,同理可得。。Р【分析】}若某些题目里,直线并不是过一个定点,而是满足某种关系,则需要灵活地选择直线形式。Р例4. 已知为坐标原点,、是椭圆()的两个焦点,是以为直径的圆,若直线与相切,并与椭圆交于不同的两点、,且,则当时,求的面积的取值范围。Р【分析】直线并不过定点,而是与圆相切,且直线斜率不存在时也符合题意,但斜率不能是零。故直线的设法采用“斜截式变形”的设法为最佳方案。Р解:设:,∵与相切,∴,可得。联立与椭圆可得Р,由韦达定理得,Р,将韦达定理代入整理得,可得。,令可得。Р Р例5. 求证:椭圆上任一点与短轴两端点的连线在轴上的截距之积为定值。Р【分析】与为两条直线,且两直线的斜率没有关系,故不考虑“点斜式”。观察到是直线的两个截距,Р是直线的两个截距,故采用直线的“截距式”为最佳方案。或者利用“两点式”表示出直线,“两点式”表示出直线,再令分别表示出。下题只给出“截距式”的解法,“两点式”可请读者自行解答。Р解:设,,。Р∵点在椭圆上,也在及上,∴,,,由后面两式可得Р,再代入第一个式子可得。Р【总结】一、若直线过定点,则用“点斜式”;若直线不过定点,而是满足某种条件,则灵活运用各种形式。Р二、若直线斜率不存在时满足题意,则采用“点斜式变形”或“斜截式变形”来设直线。
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