二次方程后,我们先算△,再由韦达定理(即根与系数关系)算出,,这里,一般为含参数的表达式。第二步:列方程或不等式,求出上述表达式中的所有参数,从而得到问题的解决。这里,通过列方程或不等式求出参数或参数范围的方法有以下几种:交点,中点(与交点有关的,需要列出△的表达式;与中点有关的,需要列出的表达式)向量化为坐标表示法。例如若题设条件告知直线与圆锥曲线的两个交点A,B与坐标原点O具有关系OA⊥OB,则有OAOB=0,通过设,,我们可得到关系式弦长公式法。弦长公式非对称式消元法。一般地,对于这种非对称形式的式子,我们统一考虑韦达定理及题给条件用代入消元法求解此类问题。例如若题设条件有关于的表达式,则我们可利用代入消元法求解此类问题。具体方法是:列出如下方程(3)—(1)可得;代入(1)可得;再把得到的代入(2)即可求得未知参数。(这里的“?”表示含有未知参数的代数式)下面,我们以一个一般问题说明一下圆锥曲线中的计算技巧。联立双曲线与直线的方程,得(*)第一个技巧:无论题给直线多么复杂,我们一定要把它写成的形式。例如,我们要把过定点(2,3)的直线写成(这里的在运算中千万不能展开)由(*)式,有第二个技巧:上式中得多项式运算用口算。口算展开之后五项只剩三项:二次项,一次项,常数项。当时,第三个技巧:把上式括号展开之后所得的四项里一定有一项能和第一项相消。无论是椭圆还是双曲线,这个结果都是必然的。由韦达定理,有,第四个技巧:打死不通分。该运算技巧在做题中居于核心地位。(a)若直线与圆锥曲线的两个交点A,B与坐标原点O具有关系OA⊥OB,则有OAOB=0,通过设,,我们可得到关系式而于是由,有由该式可见,若已知a,b,m,则可求得k;若已知a,b,k,则可求得m.进一步,有事实上,在求弦长时经常出现。若已知a,b,则可由m表示。(b)求弦长这里,为一元二次方程的二次项系数,于是故弦长
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