微分中值定理习题课

当xР0时比xn高阶的无穷小．故РРРРРРРРРРРРРРРxРxР2Рx3Р...РРxnРnРРРРРРРРРРРРРРРoРxРРРРРРРРfРxxexРРРР2!РРРnРР1!Р．РРРРР上式即为fРxРxex的带有佩亚诺型余项的Рn阶麦克劳林公式．РРРРРР总结РР理论上可以证明，任何一个函数的同阶泰勒公式在形式上是唯一的．因此，我РРРР们可以利用一些的函数的泰勒展开式，РР通过适当的运算去获得另外一些函数的泰勒展开РРР式．只要所获函数展开式的形式与泰勒公式的形式一致，РРР那么它就是该函数的泰勒公式．Р这就РР是获得某些函数泰勒公式的间接方法．Р在运用泰勒公式的间接展开方法时，Р必须熟记一些常РР见函数的泰勒公式，如Рex、sinx、cosx、ln1Рx、1РРxР等．РРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРx2РРРРРРРРРРРРРРlimРcosxРeР2РРРРРРРРРРРРРРx2Рxln1РxРРРРРРРРРР10.РРРРx0Р．РРРРРРРР利用泰勒公式求极限РРРРРРРРРРРРР解Р由于是求xР0时的极限，故分子和分母中的函数都要用麦克劳林公式去表示．Р利РР用函数ln1РРx的麦克劳林公式，求出函数ln1xРР的带有佩亚诺型余项的二阶麦克劳林公РР式РРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРРln1РxРРxРx2РРox2РРРРРРРРРРРР2РРРР.РРРРРР假设将上式代入函数的分母，那么分母是一个最高幂为РРР4次的多项式．因此需将函数Рcosx和РРР2?e?2?都用带有佩亚诺型余项的四阶麦克劳林公式来表示．?РРx2РРcosx的四阶麦克劳林公式可直接给出，而Рe2的四阶麦克劳林公式可利用Рex的麦РР微分中值定理习题课Р微分中值定理习题课РР20 / 1520Р微分中值定理习题课