3.1微分中值定理

第三章Р微分中值定理Р与导数的应用Р一、罗尔( Rolle )定理Р第一节Р二、拉格朗日中值定理Р三、柯西(Cauchy)中值定理Р微分中值定理Р一、罗尔( Rolle )定理Р费马(Fermat)引理Р证: 设Р则Р导数为0的点称为函数的驻点.Р罗尔(Rolle)定理Р满足:Р(1) 在区间[a , b] 上连续Р(2) 在区间(a , b) 内可导Р(3) f ( a ) = f ( b )Р使Р在( a , b ) 内至少存在一点Р几何解释:Р证:Р故在[ a , b ]上取得最大值M 和最小值 m .Р若 M = m , 则Р因此Р若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等.Р不妨设Р则至少存在一点Р使Р则由费马引理得Р注:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立.Р例如,Р例如,Р例如,Р例1. 证明方程Р有且仅有一个小于1 的Р正实根.Р证: 1) 存在性.Р则Р在[0 , 1 ] 连续,Р且Р由介值定理知存在Р使Р即方程有小于 1 的正根Р2) 唯一性.Р假设另有Р为端点的区间满足罗尔定理条件,Р至少存在一点Р但Р矛盾,Р故假设不真!Р设Р二、拉格朗日中值定理Р(1) 在区间[ a , b ] 上连续Р满足:Р(2) 在区间( a , b ) 内可导Р至少存在一点Р使Р思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数Р作辅助函数Р显然,Р在[ a , b ] 上连续,Р在( a , b ) 内可导,Р且Р证:Р问题转化为证Р由罗尔定理知至少存在一点Р即定理结论成立.Р证毕