线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论。解:(I)由已知椭圆C的离心率,,则得。从而椭圆的方程为(II)设,,直线的斜率为,则直线的方程为,由消y整理得是方程的两个根则,,即点M的坐标为同理,设直线A2N的斜率为k2,则得点N的坐标为,直线MN的方程为:,令y=0,得,将点M、N的坐标代入,化简后得:又,椭圆的焦点为,即故当时,MN过椭圆的焦点。方法总结:本题由点A1(-2,0)的横坐标-2是方程的一个根,结合韦达定理得到点M的横坐标:,利用直线A1M的方程通过坐标变换,得点M的纵坐标:;再将中的换下来,前的系数2用-2换下来,就得点N的坐标,如果在解题时,能看到这一点,计算量将减少许多,并且也不易出错,在这里减少计算量是本题的重点。否则,大家很容易陷入繁杂的运算中,并且算错,费时耗精力,希望同学们认真体会其中的精髓。本题的关键是看到点P的双重身份:点P即在直线上也在直线A2N上,进而得到,由直线MN的方程得直线与x轴的交点,即横截距,将点M、N的坐标代入,化简易得,由解出,到此不要忘了考察是否满足。3、已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值为,离心率为﹒(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点作直线交于、两点,试问:在轴上是否存在一个定点,为定值?若存在,求出这个定点的坐标;若不存在,请说明理由﹒解:(I)设椭圆E的方程为,由已知得:?。。。。。2分椭圆E的方程为。。。。?3分(Ⅱ)法一:假设存在符合条件的点,又设,则:。。。。。?5分①当直线的斜率存在时,设直线的方程为:,则由得?7分所以?9分对于任意的值,为定值,所以,得,所以;?11分②当直线的斜率不存在时,直线由得综上述①②知,符合条件的点存在,起坐标为﹒?13分法二:假设存在点,又设则:=….?5分①当直线的斜率不为0时,设直线的方程为,由得?7分
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