分中值定理的研究[6]大约经历了将近三百年时间,从一开始的直观到现在的抽象表达,从一开始的特殊形式到现在的一般形式,从一开始,要求的强条件到现在的弱条件,人们逐渐认识到微中值定理的重要性。循序渐进是人们认识探索事物规律的一般过程,微分中值定理的发展形成也不例外,晦涩难懂的证明推理被一些新的更简单的方法所替代,应用范围逐步扩大,这是数学发展的必由之路。6微分中值定理的基本内容中值定理揭示了函数在某区间的整体性质和区间内某一点导数之间的关系,是联系局部和整体的纽带,是微分学应用以及自身发展的理论基础,因此说中值定理是微分学的基本定理[7]。它在数学中占了很重要的位置,本文主要介绍它在解题中的一些应用。中值定理有四个:罗尔(Rolle)中值定理,拉格朗日(Lagrange)中值定理,柯西(Cauchy)中值定理,泰勒(Taylor)定理。6.1罗尔(Rolle)中值定理若函数,在上连续,在内可导,且,则在内至少存在一点,使得罗尔定理的几何意义是说:在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线。注:定理中三个条件缺少任何一个,结论将不一定成立。6.2拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数,在上连续,在内可导,则在内至少存在一点,使得拉格朗日中值定理的几何意义是:在满足定理条件的曲线上至少存在一点,该曲线在该点处的切线平行于曲线两点的连线。拉格朗日公式有下面几种等价表示形式[8]:值得注意的是,拉格朗日公式无论对于,还是都成立,而则是介于与之间的某一定数。另外,若取,则拉格朗日公式可变成最后要注意的是,拉格朗日定理和柯西定理中的条件只是充分条件,而不是必要条件[9]。6.3柯西(Cauchy)中值定理假设函数和在上连续,在内可导,且,则至少存在一点,使柯西中值定理的几何意义是:满足定理条件的由所确定的曲线上至少有一点,曲线的切线平行两端点连线。
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