,过该点的切线平行于曲线端点的连线.Р6 微分中值定理之间的关系Р从这三个定理的内容不难看出它们之间具有一定的关系.利用推广和收缩的观点来看这三个定理.在拉格朗日中值定理中,如果,则变成罗尔中值定理,在柯西中值定理中,如果,则变成拉格朗日中值定理.因此,拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.反之,拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例.总的来说,这三个定理既单独存在,相互之间又存在着联系.从上面的讨论中可以总结得到,罗尔中值定理是这一块内容的基石,而拉格朗日中值定理则是这一块内容的核心,柯西中值定理则是这一块内容的推广应用.Р7 微分中值定理的应用Р三个定理的应用主要有讨论方程根的存在性、等式证明、不等式证明、求近似值等.以下主要以例题的形式分别展示三个定理的应用.Р7.1 罗尔中值定理的应用Р罗尔定理是解决中值问题的主要工具,应用罗尔定理的具体步骤可归纳如下:Р(1)将要证中值公式写成适应的形式:.Р(2)构作辅助函数,使得等式恰相当于.通常,将看作的函数求其原函数,就得出所需的,当这样行不通时,可试着用适当的因子乘.Р(3)验证或(,这通常是容易的,且一般在构作时已考虑到了.Р例7.1 设则存在,使得Р证明变换待证中值公式为: .Р则Р.Р设,则.Р又,,得Р.Р从而满足罗尔定理的三个条件,则Р.Р例7.2 设函数在上连续,在内可导,且.Р试证:在内至少存在一点,使得.Р证明选取辅助函数,则在上连续,在内可导, ,由定理,至少存在一点,使Р因为Р.Р所以Р或.Р例7.3 设且满足,Р证明:方程在内至少有一个实根.Р证明作辅助函数Р.Р则,,在上连续,在内可导,故满足罗尔中值定理条件,因此存在,使Р.Р又Р.Р由此即知原方程在内有一个实根.Р例7.4 设函数于有穷或无穷区间中的任意一点有有限的导函数
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