微分中值定理及其应用和推广论文

得到泰勒公式.也称为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式。Р证明:作辅助函数,Р .Р 所以只需证明,或者Р 设,则和在上连续,在内可导,Р 且,.Р 又因为,所以由柯西中值定理证得Р .Р 其中.Р3.微分中值定理的应用Р微分中值定理的应用在高等数学中的地位是不容置疑的,而且在解题中的应用也是十分灵活、广泛的,举不胜举。Р 微分中值定理的应用主要是利用函数导数在区间上所具有的特征去研究函数本身在该区间上的性质,在研究函数的性质上是一个非常有利而且方便的工具,下面一一举例说明。Р3.1讨论函数的单调性Р定理3.1 设在区间I上可导,则在I上递增(减)的充要条件是.Р例1:设.试讨论函数的单调区间.Р解:(i)该函数的定义域为;Р (ii)由于Р令,得x=-1或x=1;Р (iii)因此,当时,,f递增;Р 当时,,f递减;Р 当时,,f递增.Р定理 3.2 设函数f在(a,b)内可导,则f在(a,b)内严格递增(减)的充要条件是:Р (i)对一切,有;Р (ii)在(a,b)内的任何子区间上Р例2:证明不等式,Р证:设,则.Р 故,当x>0时,,f严格递增;Р 当x<0时,,f严格递减.Р 又由于f在x=0处连续,则当x≠0时,,Р 从而证得,,Р3.2 利用微分中值定理求不定式极限Р 利用微分中值定理可以求得某些函数的极限,但是这种方法并不常用, 它只是在处理某些特定形式的函数极限时使用,下列一一举例说明。Р3.2.1 型不定式极限Р 定理3.3 若函数和满足:Р (i);Р (ii)在点的某空心邻域内两者都可导,且;Р (iii)(可为实数,也可为或),Р则.Р例3:求.Р解:因为与在点的邻域内满足定理3.3的条件(i)和(ii).Р 又因为Р 故由洛比达法则求得.Р3.2.2 型不定式极限Р定理3.4 若函数和满足:Р (i);Р (ii)在的某右邻域内两者都可导,且;