出】:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,⊙C半径为2,P为圆上一动点,连结AP,BP,求的最小值为 ..【自主探索】:在“问题提出”的条件不变的情况下,的最小值为 ..【拓展延伸】:已知扇形COD中,∠COD=90º,OC=6,OA=3,OB=5,点P是CD上一点,则2PA+PB的最小值为 .【模型类比】①“胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数起点构造所需角(k=sin∠CAE)---过终点作所构角边的垂线---利用垂线段最短解决②“阿氏圆”构造共边共角型相似构造△PAB∽△CAP推出PA2=ABAC=即:半径的平方=原有线段×构造线段拓展:“费马点”问题背景资料:在已知△ABC所在平面上求一点P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的,所求的点被人们称为“费马点”.如图①,当△ABC三个内角均小于120°时,费马点P在△ABC内部,此时∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,此时,PA+PB+PC的值最小.解决问题:(1)如图②,等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求∠APB的度数.为了解决本题,我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,此时△ACP′≌△ABP,这样就可以利用旋转变换,将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中,从而求出∠APB= ;基本运用:(2)请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题:如图③,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E,F为BC上的点,且∠EAF=45°,判断BE,EF,FC之间的数量关系并证明;能力提升:(3)如图④,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,点P为Rt△ABC的费马点,连接AP,BP,CP,求PA+PB+PC的值.
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