2+t2-a2=0,即4m2a2+4(1-4m2)-a2=0,即(1-4m2)(a2-4)=0,因此a2=4,因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.方法三:(1)同方法一.(2)当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得k>2或k<-2.由得(4-k2)x2-2kmx-m2=0,因为4-k2<0,Δ>0,因此x1x2=,又因为△OAB的面积为8,因此|OA|·|OB|·sin∠AOB=8,又易知sin∠AOB=,因此·=8,化简得x1x2=4.因此=4,即m2=4(k2-4).由(1)得双曲线E的方程为-=1,由得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0.因为4-k2<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,即(k2-4)(a2-4)=0,因此a2=4,因此双曲线E的方程为-=1.当l⊥x轴时,由△OAB的面积等于8可得l:x=2,又易知l:x=2与双曲线E:-=1有且只有一个公共点.综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.14.[·安徽卷]如图14,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.图14(1)证明:A1B1∥A2B2;(2)过O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点,记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.14.解:(1)证明:设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),则由得A1,由得A2.同理可得B1,B2.因此==2p1,==2p2.故=,因此A1B1∥A2B2
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