证明见解析;(Ⅱ);(Ⅲ).Р详解:依题意,可以建立以D为原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),РE(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,,1),N(1,0,2).Р(Ⅰ)依题意=(0,2,0),=(2,0,2).设n0=(x,y,z)为平面CDE的法向量,则即不妨令z=–1,可得n0=(1,0,–1).又=(1,,1),可得,又因为直线MN平面CDE,所以MN∥平面CDE.Р(Ⅲ)设线段DP的长为h(h∈[0,2]),则点P的坐标为(0,0,h),可得.Р易知,=(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量,故,由题意,可得=sin60°=,解得h=∈[0,2].所以线段的长为.Р点睛:本题主要考查空间向量的应用,线面平行的证明,二面角问题等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.Р12.【2018年理北京卷】如图,在三棱柱ABC-中,平面ABC,D,E,F,G分别为,AC,,Р的中点,AB=BC=,AC==2.Р(Ⅰ)求证:AC⊥平面BEF;Р(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值;Р(Ⅲ)证明:直线FG与平面BCD相交.Р【答案】(1)证明见解析(2) B-CD-C1的余弦值为(3)证明过程见解析Р(Ⅱ)由(I)知AC⊥EF,AC⊥BE,1.又CC1⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC.Р∵BE平面ABC,∴EF⊥BE.如图建立空间直角坐称系E-xyz.由题意得B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1).∴,设平面BCD的法向量为,∴,∴,令a=2,则b=-1,c=-4,∴平面BCD的法向量,又∵平面CDC1的法向量为,∴.由图可得二面角B-CD-C1为钝角,所以二面角B-CD-C1的余弦值为.
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