函数泰勒展开式的应用【毕业论文】

e[«,/?],/(%)在点如处的泰勒展开式为:/(兀0)=/(兀)+广(兀)(/-兀)+扑(纟)(―尢)2其中§在无与如之间因为门§)>0,所以/(如)>/(尢)+/©)(—无)?(1)令x0=a,x0=b分别代入(1)并相加得/(d)+/(/?)>2/(兀)+仗+/?)/©)-2/(兀)?(2)对(2)式两边同时在⑺"]定积分得(b-a)[/(a)+/(/?)]>2『/(兀炖+(°+/?)[广(尢)■■■即3-0)[/(。)+/3)]>2『/(兀宓+(°+/?)[/(0)-/(/?)]-2V*(兀卅一打(兀宓2[/(°)+/⑷](b-a)>町:f(x)dx故?“(尢宓<@7)芈也•3.2.2泰勒公式在证明代数不等式中的应用例4卜I?设ai,hi>0,z=1,2若q+為=勺+0>0,则有or,o,?(c*+a/>b/+b/?p<O^p>1a.~?>h~+Z?/<=>?-1?-?1?-Upa2l)<b2l>0<p<\证明1)易证当p为正整数(p>2)时,有吗?+%2>b;+乞2o?bf+b/2)在这里我们只证当0v/?v1时的充分性,由泰勒公式知(1+丁=i+罗37;严-"+叭"不妨设a〕<a2.b{<h2,令a=at+a2=b{+亿为了保证级数收敛,先考虑a^a2.h^h2>0的情形,a?aOQi+£(t)"勺—n=\、。丿81+2(-1)"勺H=1(4)这里好心一1)("2)…(L2+1),由⑷得n\(5)仏〃+好)-㈣+好)以吃(-1)"%八[何+2〃n=2由0v〃vl知,当7?>2时,n\(_卄=_P(l_P)(2_”・・S_l_p)w()由(5)和(6)及1)知,af+af<bf+br当q=0时,只需证(b\+b$vby+bf若b\=g结论显然成立;当b严b?时,则有/?,<h2又(1+兀)"<1+xp(0<p<l,x^1)?(7)令x=*代入(7)即得结果.b.