用范围相对较广.Р 当时,得到泰勒公式Р Р它也称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式.Р2.2 带有Lagrange型余项的泰勒公式Р定理2(泰勒定理) 若函数在上存在直至阶的连续导函数,在内存在阶导函数,则对任意给定的,至少存在一点,使得Р Р证明:作辅助函数Р所需要证明的式即为Р.Р 不妨假设则与在上连续,在内可导,且Р 又因为Р 所以由柯西中值定理证得Р 其中Р 式同样称为泰勒公式,它的余项为Р 称为拉格朗日余项.所以式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.Р注意:当时,式即称为拉格朗日中值公式Р所以泰勒定理可看作拉格朗日中值定理的推广.Р当时,得到泰勒公式Р式也称为带有拉格朗日余项的迈克劳林公式.Р2.3 常用的Maclaurin公式Р1. Р2. Р Р3. Р Р4.Р5. Р Р6. Р第三章泰勒公式的应用Р3.1 定义某些非初等函数Р 若函数在(或某个区间)上连续,则函数在上存在原函数而这个原函数不一定可用初等函数表示,这样好像陷入了困境.事实上,若可运用泰勒公式看成幂级数,则可以表示为幂级数的和函数形式.Р例1 求函数在上的原函数.Р解函数在上连续,因而它在上存在原函数,但它的原函数是Р非初等函数,于是可采用如下方法;Р由泰勒公式知,Р,Р由于它在任意闭区间上都一致收敛,于是对它的原函数是Р3.2 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式Р 利用基本初等函数的幂级数展开式,通过泰勒展开式Р可求得.Р例2 求函数的展开式.Р解由于Р所以的拉格朗日余项为Р显见Р.Р它对任何实数都有Р因而所以Р3.3 利用泰勒公式求极限Р为了简化极限的运算,有时可以用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷的求出.Р例3 求极限.Р分析:此极限为型极限,若用洛必达法求解,则比较麻烦,这时可将和,分别用泰勒展开式代替,则可以简化此式子.Р解由Р.
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