这个极限,但用泰勒公式则更方便.因为我们知道:,即()==.在证明(4):当n3时,====(.命题得证.从以上定理可以看到,当时,互为等价无穷小的函数的倒数之差(或更一般的说法,这些函数的乘方之差)的趋向情况,无穷大或无穷小的阶数以及相关的极限的特点,由函数本身在x=0处的泰勒展开式决定.同时容易推得,在以上结论中“”的条件还可以推广为“”,这时相关特点将由函数本身在处的泰勒展开式决定.综上所述,在求不定式极限时,要灵活运用等价无穷小与泰勒公式,并将函数展开至分子分母分别经过化简后系数不为零的阶即可.对于泰勒余项形式的选择,要根据具体题目而定,一般而言极限的计算题应该选择佩亚诺型余项.3.2利用泰勒公式估算误差在问题研究计算过程中,由于物理问题的数学模型化或者可能是由于计算工作者的疏忽,绝大多数的数值计算结果都会有误差,通过合理的计算方法就能最大限度的减少误差,同时减少计算的复杂程度.泰勒公式在误差估计中的应用就显得十分突出.下面在具体例子中通过用泰勒公式和matlab方法进行比较,展示泰勒公式计算的方便与精确.例1设有,将被积函数展开为泰勒级数,并取前六项得:用代替被积函数时再积分所得的近似值:0.544977678571且0.94256130<0.5,实际上近似真值时有4位有效数字.,曲线如图所示.在编辑窗口输入如下命令:x=0:0.01:1.5;y1=exp(x.^2);y2=1+x.^2+0.5*x.^4+1/6*x.^6;Plot(x,y1,x,y2);Legend(‘exp(x.^2)','1+x.^2+0.5*x.^4+1/6*x.^6');grid图1有限代替无限所产生的误差图由图可知,泰勒公式在误差估计中所产生截断误差非常小.下例通过用泰勒公式求得的数值与实际数值之间的误差界,可知泰勒公式在误差计算中的精确度较高.例2估计近似公式的绝对误差.解设,则因为
全文预览
