小)值[4].Р例3 求椭圆的内接长方体的最大体积.Р解设椭圆内接长方体位于第一卦限的顶点坐标为,Р则Р ,Р设Р ,Р令Р Р由Р ,,Р两式相除得Р ;Р由Р ,,Р两式相除得Р .Р再将Р ,Р代入Р ,Р得Р ,,,Р于是最大的体积为Р .Р不是任何函数都可以用来构造辅助函数,单调函数和拉格朗日函数都可以构造辅助函数来解决问题,当然还有部分可积函数、延拓函数等其它函数也可以构造成辅助函数,能够造成辅助函数的函数必须具有其相应的性质或功能,这样才能使得问题得到解决.Р3 辅助函数的构造方法Р要想进一步探究辅助函数法在数学分析中的运用,笔者认为应该明晰对怎样构造辅助函数这一问题.如下将详略地介绍构造辅助函数的几种方法:Р3.1 几何法Р数学分析中,存在有些概念或命题具有特殊的集合意义.例如函数在某点出的导数值为曲线对应点处切线的斜率,定积分的几何意义为曲边梯形的面积;罗尔定理的几何意义为曲线上至少存在一点处的切线平行于轴等.对于这些问题,依据其集合意义构造函数,接着利用已有的知识便迎刃而解.Р3.1.1 积分意义法Р例5 设函数在上连续,在内可导,且.证明:存在唯一的使曲线与直线及所围成的面积是与直线及所围成的面积的三倍.Р分析利用定积分知Р .Р因此,要证Р ,Р可作辅助函数:Р ,Р用介值定理证明的存在性,用导数证明的存在性,用导数证明的唯一性.Р证明作,Р则Р .Р在上连续,由介值定理知,存在使Р ,Р又在内可导,且Р ,Р由Р 知,Р是的极小值点,Р即在上单调减少,而在上单调递增,Р故Р Р且是唯一的.Р3.1.2 三点定抛物线法Р一般地,过三点的二次抛物线的方程为:Р Р 对于含函数在二阶导数的问题,若知道函数在不同的三点处的值,便可利用“三点定抛物线”,另等于与抛物线纵坐标差值来解决.Р例6 设在上二阶可导,且,证明存Р,使.Р证明过三点可做抛物线Р ,Р令
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