设一容器内原有100 L盐,内含有盐10kg ,现以3L/mi n的速度注入质量浓度为0.01kg/ L的淡盐水,同时以2L/mi n的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.解设t 时刻容器内的盐量为)(tx kg, 考虑 t 到ttd?时间内容器中盐的变化情况,在dt 时间内容器中盐的改变量?注入的盐水中所含盐量-抽出的盐水中所含盐量容器内盐的改变量为 xd , 注入的盐水中所含盐量为 td301 .0?,t 时刻容器内溶液的质量浓度为 t tx)23(100 )(??, 假设 t 到ttd?时间内容器内溶液的质量浓度不变(事实上, 容器内的溶液质量浓度时刻在变, 由于 td 时间很短, 可以这样看) . 于是抽出的盐水中所含盐量为 tt txd2)23(100 )(??,这样即可列出方程 tt xtxd100 2d03 .0d???, 即t xt x???100 203 .0d d . 又因为 0?t 时,容器内有盐 10 kg, 于是得该问题的数学模型为 d 2 0.03 d 100 (0) 10 x x t t x ?? ?????????, , 这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为 2 4)100 ( 10 9)100 (01 .0)(t ttx?????. 下面对该问题进行一下简单的讨论, 由上式不难发现:t 时刻容器内溶液的质量浓度为 3 4)100 ( 10 901 .0100 )()(t t txtp??????, 且当??? t 时,01 .0)(? tp , 即长时间地进行上述稀释过程, 容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度. 溶液混合问题的更一般的提法是:设有一容器装有某种质量浓度的溶液,以流量 1V 注入质量浓度为 1C 的溶液(指同一种类溶液,只是质量浓度不同),假定
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