又而于是。因此椭圆方程为设M(x,y),由得,,因M为椭圆上一点,所以即①又,则而代入①得,=1,为定值。类型4——探索点、线的存在性例4在△ABC中,已知B(-2,0),C(2,0),AD⊥BC于D,△ABC的垂心H分有向线段AD设P(-1,0),Q(1,0),那么是否存在点H,使成等差数列,为什么?思路:先将AC⊥BH转化为代数关系,由此获得动点H的轨迹方程;再将向量的长度关系转化为代数(坐标)关系,通过解代数方程组获解。解:设H(x,y),由分点坐标公式知∵H为垂心∴AC⊥BH,∴,整理得,动点H的轨迹方程为。,,。假设成等差数列,则即①∵H在椭圆上a=2,b=,c=1,P、Q是焦点,∴,即∴②由①得,③联立②、③可得,,∴显然满足H点的轨迹方程,故存在点H(0,±),使成等差数列。类型5——求相关量的取值范围例5给定抛物线C:,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点,且,求l在轴上截距的变化范围。思路:设A、B两点的坐标,将向量间的共线关系转化为坐标关系,再求出l在轴上的截距,利用函数的单调性求其变化范围。解:设A(x1,y1),B(x2,y2),由得,,即由②得,③。联立①、③得,。而当直线l垂直于轴时,不符合题意。因此直线l的方程为或直线l在轴上的截距为或由知,在上递减的,所以于是直线l在轴上截距的变化范围是存在、向量例6、双曲线,若上存在一点。解:方程为,即。由,消去y得,定值问题例7:是抛物线上的两点,满足(为坐标原点),求证:(1)两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值;(2)直线经过一定点。分析:(1)设,则又由(2)直线的方程为,故直线过定点。招式五:面积问题例题1、已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值。
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