三角形的五心及相关习题

.∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.∴AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I就是一点两心.6.提示:设AM为高亦为中线,取AC中点F,E必在DF上且DE:EF=2:1.设CD交AM于G,G必为△ABC重心.连GE,MF,MF交DC于K.易证:DG:GK=DC:()DC=2:1.∴DG:GK=DE:EFGE∥MF.∵OD丄AB,MF∥AB,∴OD丄MFOD丄GE.但OG丄DEG又是△ODE之垂心.易证OE丄CD.7.提示:辅助线如图所示,作∠DAO平分线交BC于K.易证△AID≌△AIB≌△EIB,∠AID=∠AIB=∠EIB.利用内心张角公式,有∠AIB=90°+∠C=105°,∴∠DIE=360°-105°×3=45°.∵∠AKB=30°+∠DAO=30°+(∠BAC-∠BAO)=30°+(∠BAC-60°)=∠BAC=∠BAI=∠BEI.∴AK∥IE.由等腰△AOD可知DO丄AK,∴DO丄IE,即DF是△DIE的一条高.同理EO是△DIE之垂心,OI丄DE.由∠DIE=∠IDO,易知OI=DE.习题17解答1.B;2.A;3.A;4.C;5.选B,只有(3)是对的;6.略;7.略;8.略;9.略;10.略;11.略;12.H的轨迹是一条线段.补充:第五讲三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.一、外心.三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1.过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M;引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P′.试证:P′点在△ABC外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析:由已知可得MP′=MP=MB,NP′=NP=NC,故点M是△P′BP的外心,点N是△P′PC的外心.有