用不动点法求数列通项

定义:方程的根称为函数的不动点.Р利用递推数列的不动点,可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列,这种方法称为不动点法.Р定理1:若是的不动点,满足递推关系,则,即是公比为的等比数列.Р证明:因为是的不动点Р由得Р所以是公比为的等比数列.Р定理2:设,满足递推关系,初值条件Р(1):若有两个相异的不动点,则(这里)Р(2):若只有唯一不动点,则(这里)Р证明:由得,所以Р(1)因为是不动点,所以,所以Р令,则Р(2)因为是方程的唯一解,所以Р所以,所以Р所以Р令,则Р例1:设满足,求数列的通项公式Р例2:数列满足下列关系:,求数列的通项公式Р定理3:设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,Р证明: 是的两个不动点Р 即Р 于是,Р Р Р 方程组有唯一解Р例3:已知数列中,,求数列的通项.Р其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题:Р例4:已知且,求数列的通项.Р解: 作函数为,解方程得的不动点为Р.取,作如下代换:Р逐次迭代后,得:Р已知曲线.从点向曲线引斜率为的切线,切点为.Р(1)求数列的通项公式;Р(2)证明:Р设为实数,是方程的两个实根,数列满足,,(…).(1)证明:,;(2)求数列的通项公式;(3)若,,求的前项和.Р已知函数,是方程的两个根(),是的导数,设,.Р(1)求的值;Р(2)证明:对任意的正整数,都有;Р(3)记,求数列的前项和Р13陕西文21.(本小题满分12分)已知数列满足, .Р令,证明:是等比数列; (Ⅱ)求的通项公式。Рw.w.w.k.s.5.u.c.o.m