数列极限求法及其应用

则也是收敛数列,且有.Р定理1.2.2(单调有界定理) 在实数系中,有界的单调数列必有极限.Р定理1.2.3(Stoltz公式) 设有数列,,其中严格增,且(注意:不必).如果Р (实数,),Р则Р定理1.2.3'(Stoltz公式) 设严格减,且,.若Р (实数,),Р则Р .Р定理1.2.4(几何算术平均收敛公式) 设,则Р,Р若,则.Р定理1.2.5(夹逼准则)设收敛数列都以为极限,数列满足:存在正数,当时,有Р ,Р则数列收敛,且.Р定理1.2.6(归结原则)设在内有定义.存在的充要条件是:对任何含于且以为极限的数列,极限都存在且相等.Р第二章数列极限的求法Р2.1 极限定义求法Р 在用数列极限定义法求时,关键是找到正数.我们前面一节的定理1.2.4(几何算术平均收敛公式)的证明就可用数列极限来证明,我们来看几个例子.Р例2.1.1 求,其中.Р解:.Р事实上,当时,结论显然成立.现设.记,则. 由,Р得. (5)Р任给,由(5)式可见,当时,就有.即.所以.Р对于的情况,因,由上述结论知,故Р .Р综合得时,.Р例2.1.2 定理1.2.4(1)式证明.Р证明:由,则,存在,使当时,有Р ,Р则Р .Р令,那么Р .Р由,知存在,使当时,有.Р再令,故当时,由上述不等式知Р .Р所以.Р例 2.1.3 求.Р解:.Р 事实上,.Р即.Р对,存在,则当时,便有Р所以.Р注:上述例题中的7可用替换,即.Р2.2 极限运算法则法Р 我们知道如果每次求极限都用定义法的话,计算量会太大.若已知某些极限的大小,用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法.Р例2.2.1 求,其中.Р解:分子分母同乘,所求极限式化为Р .Р由知,Р当时,所求极限等于;当时,由于,故此时所求极限等于0.综上所述,得到Р Р例2.2.2 求,其中.Р解: 若,则显然有;Р若,则由得Р ;Р若,则Р .