………………………..①把①式右边倒转过来得(反序)又由可得…………..……..②①+②得(反序相加)∴[例6]求的值解:设………….①将①式右边反序得…………..②(反序)又因为①+②得(反序相加)=89∴S=44.5四、分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.[例7]求数列的前n项和:,…[例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解:设∴=将其每一项拆开再重新组合得Sn=(分组)五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如:(1)(2)(3)(4)(5)(6)[例9]求数列的前n项和.[例10]在数列{an}中,,又,求数列{bn}的前n项的和.[例11]求证:解:设∵(裂项)∴(裂项求和)====∴原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn.[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解:设Sn=cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵(找特殊性质项)∴Sn=(cos1°+cos179°)+(cos2°+cos178°)+(cos3°+cos177°)+···+(cos89°+cos91°)+cos90°(合并求和)=0[例13]数列{an}:,求S2002.解:设S2002=由可得……∵(找特殊性质项)∴ S2002=(合并求和)====5[例14]在各项均为正数的等比数列中,若的值.解:设由等比数列的性质(找特殊性质项)和对数的运算性质得(合并求和)
全文预览
