知,上面最后一个不等式一定成立,所以不等式也成立,Р从而不等式对所有的正整数n成立Р证二:用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法:Р由条件知再由及归纳假设可得Р3.证:先证明若这是因为Р然后用反证法若当时,有则由第1小题知Р因此,由上面证明的结论及x1=可得Р即,这与假设矛盾所以本小题的结论成立Р编者说明Р1984年的第八大题,是本卷正卷的压轴题,是当年正卷上难度最大的题目。考查的内容是数列与不等式的综合。数列不是用通项公式给定,而是用递推式给定。递推式实为教材的延伸,使得绝大多数考生可望而不可及。90%以上的考生与此题无缘,当年在北京本题得满分的仅仅只有两人。Р本题的递推数列对以后的若干年影响很大,在全国高中数学界掀起了研究递推数列的热潮。Р九.(附加题,本题满分10分,不计入总分)Р⌒Р如图,已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A,一动点P自切点A沿直线l向右移动时,取弧AC的长为,直线PC与直线AO交于点M又知当AP=时,点P的速度为v 求这时点M的速度Р解:作CD⊥AM,并设AP = x,AM = y,∠COD=θ由假设,РAC的长为,半径OC=1,可知θР考虑Р∵△APM∽△DCM,Р而Р编者说明Р这是1984年的附加题,在1983年中断一年以后。附加题的重现,是经过了一番讨论的,主要是北大、清华的命题人坚持用附加题选拔尖子学生。当然,这个目的并没有达到,因为考生们连正题都没有完成,所以基本上无人光顾这道附加题,使得此题成为虚设。Р1984年的数学试题创造了建国以来的难度之最。考后,不少的人(界内和界外)对试题提出了置疑,经过了长达半年的讨论,才基本上在全国统一了看法:难的原因是因为新而活,这个方向是非常正确的,必须坚持,不足之处就是要求急了一点。这种结论对从1985年以后的数学命题取到了良好的导向作用。Р(有资料表明八四年试题为历年来最难的一次)
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