积分外即Р又因为,所以Р为证定理在上作映射Р:Р易见在连续且可导对.对求导得Р则在上严格单调递增,即又因为Р所以Р即Р下证是上的一个压缩映射Р因为从而知是上的一个压缩映射.那么由不动点定理知存在唯一的,使得Р即Р整理可得Р以上用不动点定理证明了积分中值定理,现在考虑命题中的条件是否能够减弱且得到相同的结论.题设中的函数在上连续,现将连续减弱为在有限个间断点.Р定理若在上连续, 在有且仅有有限个间断点,在不变号且有界,及则在中存在唯一使得成立.Р证要说明该定理仍然成立只需证明尽管在不连续但仍然可积即可.Р不失一般性,这里只证明在仅有一个间断点的情形,并假设为它的一个间断点.Р任给,取使其满足且.Р其中分别为在上的上下确界(否则为常值函数,显然可积).Р记在小区间上的振幅为,则有Р.Р因为在上连续,所以可积,则存在某一分割使得.Р令则是上的一个分割,对于有Р这就说明了在上可积.Р由上题结论知,在中存在唯一的一点使得成立.Р4不动点在证明微分方程解得存在性和唯一性中的应用Р在实际生活中需要求解一些复杂的方程,但在求解之前必须保证该求解是有意义的.因此判断方程解得存在性起到很大的意义.而用分析的方法证明存在性定理比较困难,下面就给出较为简单的证明方法.Р定理设二元函数在区域上处处连续,且处处关于的偏导数存在.存在常数使得那么方程在闭区间上有连续解,且解是惟一的.Р证在完备的空间中做映射下只需证明是自身到自身的压缩映射.Р事实上,对于则由微分中值定理对使得Р Р现令,则从而有Р即有Р这就说明是上的压缩映射,故有唯一的使得,亦即有Р.Р例2 考察微分方程其中在整个平面上连续,此外还设关于满足利普希茨条件:Р其中为常数,那么通过微分方程有且仅有一条积分曲线.Р证原微分方程加上初值条件等价与下面的积分方程Р取使得在连续空间内定义映射Р则有Р Р由于,由压缩映射原理可知存在唯一的连续函数使得
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