,,对的任意一对对径,当沿一个半圆从走到时,就沿另一个半圆从走到.Р定义函数:,且其定义域为与分别走过的两个半圆(即整个圆Р),显然连续且:;Р.Р 如果,由于,则的象点,相同.Р 如果,函数在走过的圆上连续,则根据介值性定理推论1得,圆有一对对径点,使,即,Р 这则表明,点与其对径点的象点相同.Р 综上所述,即结论得证.Р2.3 介值性定理在实际问题中的应用Р例4 四脚一样长,四脚连线呈正方形的椅子放在起伏不平的光滑曲面的地上,能否将这把椅子四脚同时落地并放稳?Р答案是肯定的!Р如图2,设椅子四点连线交点为,初始时四脚连线呈正方形,以为原点,对角线为轴建立直角坐标系椅子在绕动过程中的任意位置,对角线与轴的夹角唯一确定在不同位置椅子脚与地面的距离不同,这一距离为的连续函数,设两脚与地面距离之和为,两脚与地面距离之和为,在任意位置椅子总有三只脚同时落地,即对任意的,与总有一个为零.Р不妨设,这样,该问题便归结为以下数学问题:Р设都是连续函数,,对任意,,存在,使得.Р证明将椅子转动使对角线互换,由于,可得,,Р,令,且连续,并满足且.Р根据介值定理推论1(零点定理),必存在使,即因为,所以,此时椅子放稳.Р以上即为介值性定理的几种应用,其实介值性在连续函数中的应用远不止于此,事实上,介值性定理在连续函数中有着非常广泛的应用,在此不再一一说明.Р参考文献Р[1]华东师范大学,数学分析[M],第三版,北京:高等教育出版社,2002,76-77.Р[2]汪林.数学分析中的问题和反例[M].昆明:云南科学技术出版社,1990.Р[3]盛祥耀.高等数学[M],北京:高等教育出版社,2001.Р[4]郭计敏.介值性定理的证明及应用[J].科技信息职校论坛,2009,(23):616-617.Р[5]高金泰.介值定理的几点推广应用[J].甘肃广播电视大学学报,1999,(2):53-56.
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