方程的根的存在个数问题等等。Р2 罗尔定理的推广Р2.1区间两端极限都存在下的推广Р推论1 设函数在区间上连续,在区间内可导,Р,Р其中A为常数,则至少存在一点,使得Р.Р 推论2 设在区间上连续,在区间内可导,且Р,Р则至少存在一点,使得Р.Р推论3 设函数在区间上连续,在区间内可导,且Р,Р则至少存在一点,使得Р.Р推论 4 设函数在区间上连续,在区间内可导,且Р,Р则至少存在一点,使得Р.Р推论 5 设函数在区间上连续,在区间内可导,且Р,Р其中A为有限实数,则至少存在一点,使得Р.Р 推论 6 设函数在区间上连续,在区间内可导,且Р,Р则至少存在一点,使得Р.Р 推论 7 设函数在区间上连续,在区间内可导,且Р,Р其中A为有限实数,则至少存在一点,使得Р.Р 推论 8 设函数在区间上连续,在区间内可导,且Р,Р其中A为有限实数,则至少存在一点,使得Р.Р证明:下面仅给出推论8的证明.其它推论的证明与此类似.Р 若是常值函数,则结论显然成立.下面只讨论不是常值函数的情形.Р 在此情形下,不妨设存在,Р.Р因为在上连续,根据连续函数介值定理的推广形式可知,存在Р,Р使得Р.Р再由罗尔定理知,存在Р,Р使得Р.Р结论得证.Р2.2区间端点处极限不存在下的推广Р推论1到推论8都要求区间两端的极限存在,我们于是想在不存在的情况下又是否有类似的结论成立呢?下面我们将结论进一步推广,得到下列结论:Р定理 2 若函数在区间内可导,且Р.Р则至少存在一点,使得Р.Р证明: 不妨设Р.Р并令Р,Р则存在使得对满足Р的一切,都有Р.Р故而存在,使得Р而对于上述,存在使得对满足Р的一切,都有,故而存在,使得Р.Р又由连续函数介值定理知存在使得Р,Р显然,在上满足罗尔定理的所有条件,由此可知存在使得Р结论得证.Р定理 3 若函数在区间内可导,且对于,在和内有不同的单调性,则至少存在一点,使得
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