③求和④取极限。这样通过求曲边梯形面积得出定积分的定义。Р观察我们上述四步我们发现,第二步是最关键的,因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的,这只要把近似式中的变量记号改变一下即可换为,换为,而第三,第四两步可以合并成一步。Р在平面直角坐表系中求图形面积,首先要看它是由几个曲边梯形的面积的和或差得来的,然后确定出积分区间。其被积表达式(或)就是面积元素,面积元素都是一个矩形面积,这个矩形的宽度是(或),长是(或)。我们通过下面例题的分析,来领会这种思路[2]。Р例1 :用定积分定义计算。Р解:因为被积函数在区间上连续,所以在区间上可积(可积性的充分条件),既定义中和式的极限存在。下面我们就用特定的分法和特定取法求这个极限值。Р为计算方法方便起见,把区间分成等分,分点为:,每个小区间的长度都是,在每个小区间,在每个小区间上都取,于是和式Р 当时,有Р,Р即Р。Р1.2.4牛顿—莱布尼兹定理Р由和式的极限求定积分的值是十分复杂的,在多数情况下是行不通的,而微积分学基本定理却为定积分的计算方法开避了新途径,我们有下面的定理:Р定理1:(牛顿—莱布尼兹定理)设函数在上连续,且是在该区间上的一个原函数,则Р证:由定理条件可知,(变上限积分)是在区间上的一个原函数,而也是在区间上的一个原函数,则, , 是某一个常数,既Р,Р在上式两边令, ,有,有。再令,就有Р 既Р 。Р于是称为牛顿—莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式,这是数学分析里面非常重要的公式之一,它给出了定积分与不定积分之间的联系,通过它我们可以利用不定积分来计算定积分,而不必用求和式极限的方法来计算,这个公式是定积分计算的基础,也是积分学的基本公式。该公式的重要性在于把定积分的计算问题转化为求被积函数的原函数在上下限的函数值之差的问题,从而为定积分的计算提供了一个简便而有效的方法,使积分学得到广泛的应用。
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