不动点定理及其证明,概况了对不动点定理的几种推广形式.第3章不动点定理在数列中的应用在高考试题中,数列向所对应函数的不动点收敛的问题,常可以用单调性结合数学归纳法的方法来解决.“不动点”问题虽不是高考大纲的要求,但在函数迭代、力程、数列、解析几何中都有重要的价值和应用,在历年的高考中也经常看到“不动点”的影子以全国卷I为例,2007年,2008年、2010年高考的压轴题都是可以用“不动点”的方法比较容易地去解决.用“不动点”的方法在学生平时解题中主要是求数列的通项公式、数列的单调性、有界性及收敛性等.3.1求数列的通项公式定理10已知数列满足,其中,设是唯一的不动点,则数列是一个等差数列.证明因为是唯一的不动点,所以是方程,亦即是一元二次方程的唯一解.得所以把代入上式,得:令,可得数列是一个等差数列.在初等数学中经常会遇到求这类问题,已知数列的首项,数列的递推关系,求数列的通项,这类问题往往难度很大,通过不定点定理,大大降低了此类问题的难度.例1若(,且)求数列的通项公式.解根据迭代数列,构造函数,易知有唯一的不动点,根据定理可知,则即数列是以首项,公差为的等差数列.则对应的通项公式为解得又也满足上式.所以的通项公式为.对于此类形式的数列,已知数列满足,其中,求其通项.运用不动点定理,可以简单快捷地解答.即数列是以首项,公差为的等差数列.推论已知数列满足,其中,设是唯一的不动点,则数列是一个公比为等比数列例2若,(,且),求数列的通项公式.解根据迭代数列,构造函数,易知有唯一的不动点,根据推论可知,则所以所以是以为首项,为公比的等比数列,则当时,有,故又也满足上式.所以的通项公式为.在高中阶段,学生在学习了数列之后,经常会遇到已知及递推公式,求数列的通项公式的问题,很多的题目令人感到非常棘手.而不动点定理给出了一个“公式”性的方法——不动点法,应用此法可巧妙地处理此类问题.
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