出各种改进的牛顿方法.文献Р[8]中利用Newton-Rapfson迭代法和微分中值定理“中值点”的渐进性,提出的一种多点迭代的算法.Р设满足下述条件:Р ,.Р ,在上保号。(A) Р根据微分中值定理,即存在,使得:,而.Р因此,当与的距离无限接近时有:Р图2РOРAРDРCРPРyРxР Р.也就是说,在区间不甚大的时候,中值点一定在其渐近的位置附近,并随区间变小而趋于其渐近的位置.图所示的迭代算法构造图本方案基于上述考虑,给出一种通过迭代点而选取另一个点,利用两个点进行迭代求近似根的新方法.这种方法虽然在迭代中又只利用了一个其它的点,但其计算精度却相当的高,它的某一种特殊情形恰是通常的РNewton-Rapfson迭代算法.为了更加直观起见,我们通过几何直观图来构造这种迭代算法.设满足条件(A),当选定初值Р(仅要求),如图所示,作交点的切线交轴于B , AQ线段的斜率为:Р. Р由微分中值定理得知,存在使得:Р.Р Р而,因此,我们取数,在点Р作切线PC,图中AD平行于PC.即用点P的导数取代点A的导数,而继续用点的迭代格式得到的点D的坐标Р.Р Р重复上述过程,得到多点迭代公式:Р . (1) Р其中,.Р下面我们对上述事实,从理论上加以严格的证明.Р定理设满足条件(A),则由多点迭代公式(1)产生的序列{}必收敛于上的唯一,这里,.Р证明: 函数在上连续,由连续函数根的存在定理,从知道在上的根存在,又由条件以及保号知道,在上不变号,故在上是单调函数,因此在上的根存在且唯一.由定理条件曲线可有如下四种不同的情况:Р(1),,,则单调上升,;Р(2),,,则单调下降,;Р(3),,,则单调上升,;Р(4),,,则单调下降,.Р通过对自变量的变号或者对函数的变号可将四种情况归结为一种情况,所以我们只需对其情况(一)证明迭代过程(1)收敛就可以了.Р若初值,,所以,故有
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