递增,即又因为所以即下证是上的一个压缩映射因为从而知是上的一个压缩映射.那么由不动点定理知存在唯一的,使得即整理可得以上用不动点定理证明了积分中值定理,现在考虑命题中的条件是否能够减弱且得到相同的结论.题设中的函数在上连续,现将连续减弱为在有限个间断点.定理若在上连续,在有且仅有有限个间断点,在不变号且有界,及则在中存在唯一使得成立.证要说明该定理仍然成立只需证明尽管在不连续但仍然可积即可.不失一般性,这里只证明在仅有一个间断点的情形,并假设为它的一个间断点.任给,取使其满足且.其中分别为在上的上下确界(否则为常值函数,显然可积).记在小区间上的振幅为,则有.因为在上连续,所以可积,则存在某一分割使得.令则是上的一个分割,对于有这就说明了在上可积.由上题结论知,在中存在唯一的一点使得成立.4不动点在证明微分方程解得存在性和唯一性中的应用在实际生活中需要求解一些复杂的方程,但在求解之前必须保证该求解是有意义的.因此判断方程解得存在性起到很大的意义.而用分析的方法证明存在性定理比较困难,下面就给出较为简单的证明方法.定理设二元函数在区域上处处连续,且处处关于的偏导数存在.存在常数使得那么方程在闭区间上有连续解,且解是惟一的.证在完备的空间中做映射下只需证明是自身到自身的压缩映射.事实上,对于则由微分中值定理对使得现令,则从而有即有这就说明是上的压缩映射,故有唯一的使得,亦即有.例2考察微分方程其中在整个平面上连续,此外还设关于满足利普希茨条件:其中为常数,那么通过微分方程有且仅有一条积分曲线.证原微分方程加上初值条件等价与下面的积分方程取使得在连续空间内定义映射则有由于,由压缩映射原理可知存在唯一的连续函数使得5小结文章叙述并证明了不动点原理,以及与其相关的定义,并应用它解决了复杂数列求极限、积分第一中值定理和微分方程解得唯一性的证明.系统而全面地对所学知识有了一个更好的掌握,
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