柯西不等式的证明及应用（毕业设计论文doc）

Р证: .Р即不等式(2-3)得证。Р形式4:设,则有Р (2-4)Р 当且仅当时等号成立。Р证:由柯西不等式有,则Р Р 所以.Р即不等式(2-4)得证。Р形式5:设,则有Р (2-5)Р 当且仅当时等号成立。Р证:令,则由柯西不等式(1-1)得:Р ,化简得.Р即不等式(2-5)得证。Р由以上可以看出,柯西不等式的基本形式(1-1)及其推广形式不仅对称优美,证法简洁统一,而且相互之间相互渗透,有着内在的联系。Р3 柯西不等式的应用Р柯西不等式通常应用于证明代数不等式、几何不等式、三角不等式,同时它在实数的大小比较、解方程、确定参数的取值范围、求最值等方面都有着广泛的应用。并且柯西不等式可以应用在不同领域,例如在概率论与数理统计、泛函分析等领域中的应用。Р3.1 证明不等式Р用柯西不等式证明不等式,关键是要根据题目的结构特点,构造出适当的两组实数,可以变形、拆项、添项,还要会用隐形的1及其分拆(如)。同时,与其他定理的应用一样,对柯西不等式也既要正用,又要逆用、变用、连用和巧用。在不等式的证明中,有些不等式的证明用常规方法很繁琐,而用柯西不等式却很简单。Р3.1.1 巧乘因式Р柯西不等式左右两边共有3个因式,当要证的不等式只有2个因式时,可以巧妙地在不等式一边乘上一个和为定值的因式,或与要证的不等式中某个因式有联系的因式,构造成柯西不等式的形式。Р例3.1.1 已知为正数且各不相等,求证:.Р证明: Р Р又各不相等,故等号不能成立Р综上,例3.1.1讲述了柯西不等式(1-1)在代数不等式中的应用和求解方法。Р3.1.2 重排序Р有些不等式,直接利用柯西不等式不能得到预想的结论,当把某些因式中的某些项调换一些次序,就能用柯西不等式得到想要的结论。Р例3.1.2 已知正数满足,证明:.Р证明:利用柯西不等式(1-3):Р Р Р Р又因为Р在此不等式两边同乘以2,再加上得: