]:元实二次型是正定的充要条件是它的标准形的系数全为正。证:因为=对作合同变换,即取作非线性退化,则实二次型的标准形为又因为为正定矩阵且正定矩阵作非退化线性替换其正定型不变,即也是正定矩阵。则,,……即,,……,所以实二次型的标准形的系数全为正。定理2[8]:元实二次型是正定的充要条件是它的正惯性指数为。证:因为是正定的,所以矩阵是正定矩阵,则那么可化为,且由此可得,正惯性指数为。反之,若该元实二次型的正惯性指数为,且为对称矩阵,根据定理1可得矩阵为正定矩阵。推论:实对称矩阵正定的充要条件是的正惯性指数等于的级数。定理3:阶实对称矩阵是正定的充要条件是二次型的秩与符号差均为。证:必要性因为是实对称正定矩阵,所以实对称矩阵所对应的实二次型的正惯性指数为、负惯性指数0,从而可得实二次型符号差为。因为矩阵的主对角线上的元素对应元实二次型的系数,又矩阵为正定矩阵,所以正定矩阵的主对角线上的所有数全部大于零,进而可推出正定矩阵的秩为。充分性因为二次型的秩与符号差均为,所以正惯性指数为,从而由定理2可得矩阵为正定矩阵。定理4[9]:阶实对称矩阵是正定的充要条件是与单位矩阵合同,即存在实可逆矩阵,使的。证:阶实对称矩阵正定的充要条件是元实二次型正定,当且仅当的正惯性指数为,当且仅当与单位矩阵合同。定理5:阶实对称矩阵是正定的充要条件是的顺序主子式证:必要性设实二次型是正定的。将任意一组不全为零的实数代入实二次型,有。因此,是正定二次型的。由此,的矩阵的行列式,。这就证明了矩阵的顺序主子式全大于0。充分性对作第二数学归纳法(1)设当时,=,由题可得,则易得是正定的。(2)假设当时,命题成立。(3)下面证明元时的情形:令,于是矩阵可以写成因为的顺序主子式全大于零,从而的顺序主子式也全大于零。由假设是正定矩阵,则存在一个可逆的阶矩阵,使得令,于是再令,有=令,就有,进而有由条件,,因此。显然:
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