范围,以及矩阵秩与极大线性无关组的关系进行了证明与阐述.Р矩阵的秩的一些结论及其证明Р3.1命题1 设是阶方阵,则当且仅当.Р证明:令,则与等价,Р即存在可逆矩阵、使得Р,Р取其行列式得Р.Р所以,当且仅当时,Р.Р该命题是互逆命题,即条件结论可互换,也就是说满秩与行列式非零是等价的,可根据有效条件判断行列式是否等于零或者是否满秩矩阵.Р3.2命题2 矩阵的乘积的秩不超过各因子的秩.即:设是矩阵,是矩阵,则Р.Р证明:设非零矩阵,.Р可表示为的列向量的线性组合,即:Р,Р所以.Р可表示为的行向量的线性组合,即:Р,Р所以Р.Р可得Р.Р此证明将矩阵分为多个列向量或行向量来处理的,向量组是列向量组通过矩阵的映射,同时也可说向量组是行向量组通过矩阵的映射.上述证明说明了映射向量组不能增大基向量组的秩.Р3.3命题3 若可逆矩阵,使,则.Р证明:初等行变换与初等列变换不改变矩阵的秩, 即对矩阵进行列变换和行变换,所以.Р该命题体现了初等变换的性质,以及相似矩阵的特别,对于较为复杂的矩阵的秩的求解起到简化作用,可以通过求解相似或等价矩阵的秩来实现.Р3.4命题4 若,则的伴随矩阵的秩与的秩有如下关系: Р.Р证明:当,,所以;Р当,Р即Р,Р其中Р所以;Р当,因为,所以,因为为满秩矩阵,所以.Р伴随矩阵是一特殊矩阵,可用以求解逆矩阵,伴随矩阵的秩与对应矩阵关系如上命题所示,可用以相互求解和验证秩的大小.Р3.5命题5 两矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和.即:设、均为矩阵,则Р. [3]Р证明:由分块矩阵的初等变换Р,Р则Р,Р由引理1得Р,Р所以Р.Р此证明过程用到了分块矩阵,分块矩阵使未知矩阵和方便分块的矩阵的变换变得简单,过程清晰,便于理解.分块矩阵初等变换的规则如下注解所示.上述过程证明了两矩阵和的秩小于两矩阵秩的和,可用于判断和矩阵的范围.Р注①表示将矩阵的第一行加到第二行上.
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