浅谈幂级数的敛散性与函数的幂级数展开

散 B.条件收敛Р C.绝对收敛 D.敛散性不能确定Р 分析:由于幂级数在其收敛区间(-R,R)内绝对收敛,在时发散.可知,当幂级数在c=2处收敛时,必有。因此在(-2,2)内必定绝对收敛,由于c=-1(-2,2),因此可知在c=-1处必定绝对收敛,故应选C,答:C。Р (3)下列幂级数中,收敛半径为R=1的是( )。Р A. B. Р C. D. Р 分析:A Р B Р C Р D Р 可见B为正确答案,答:B。Р 4.2 填空题Р (1)幂级数的收敛域为Р 分析:当,即0<x<2时,幂级数收敛。Р 又当x=0时,=发散。Р 而当x=2时,=收敛。Р 故收敛域为,答:。Р (2)关于的幂级数展开式为(-2<x<2) Р 分析: Р = = (-2<x<2) Р 答:(-2<x<2) Р 4.3 解答题Р (1)求幂级数的收敛半径。Р 分析: Р ,于是可知收敛半径为答:2。Р (2)求的收敛区间。Р 分析:所给级数为不缺项情形,, Р = Р 因此,所以幂级数的收敛区间为(-3,3),答:(-3,3)。Р (3)求的收敛半径、收敛区间和收敛域。Р 分析: Р 于是Р 可知收敛半径为R=即当即时,收敛。Р 当c=0时,=发散。Р 当c=2时,收敛。Р 故收敛区间为(0,2),收敛域为,答:1,(0,2),。Р (4)把函数展开为x-2的幂级数,并求收敛区间。Р 分析:= Р 利用函数Р ,R=1,得到Р ,, Р 所以Р (5)求函数的马克劳林级数展开式。Р 分析:已知Р =, Р 答: Р (6)将函数展开成的幂级数。Р 分析: Р = Р = Р 利用公式(2)与(3)以代入得: Р , Р , Р 在处的展开式为: Р Sinc= Р 参考文献Р [1] 高霞.高等数学[M].南开大学出版社,2010. Р [2] 叶正道.高等数学[M].中国社会出版社,2005.