令(幂级数显然在点收敛),就容易得到Р.Р将它们代入(9-5-5)式,所得与的马克劳林展开式(9-5-4)完全相同.Р综上所述,如果函数在包含零的某区间内有任意阶导数,且在此区间内的马克劳林公式中的余项以零为极限(当时),那么,函数就可展开成形如(9-5-4)式的幂级数.Р幂级数Р,Р称为泰勒级数.Р二、初等函数的幂级数展开式Р利用马克劳林公式将函数展开成幂级数的方法,称为直接展开法.Р例1 试将函数展开成的幂级数.Р解因为Р, Р所以Р,Р于是我们得到幂级数Р, (9-5-6)Р显然,(9-5-6)式的收敛区间为,至于(9-5-6)式是否以为和函数,即它是否收敛于,还要考察余项.Р因为Р (), 且,Р所以Р.Р注意到对任一确定的值,是一个确定的常数,而级数(9-5-6)是绝对收敛的,因此其一般项当时,,所以当时,有Р,Р由此可知Р.Р这表明级数(9-5-6)确实收敛于,因此有Р ().Р这种运用马克劳林公式将函数展开成幂级数的方法,虽然程序明确,但是运算往往过于繁琐,因此人们普遍采用下面的比较简便的幂级数展开法.Р在此之前,我们已经得到了函数,及的幂级数展开式,运用这几个已知的展开式,通过幂级数的运算,可以求得许多函数的幂级数展开式.这种求函数的幂级数展开式的方法称为间接展开法.Р例2 试求函数在处的幂级数展开式.Р解因为Р,Р而Р,(),Р所以根据幂级数可逐项求导的法则,可得Р,().Р三、函数幂级数展开的应用举例Р幂级数展开式的应用很广泛,例如可利用它来对某些数值或定积分值等进行近似计算.Р例3 利用的展开式估计的值.Р解由于,Р又因Р, (),Р所以有Р.Р可用右端级数的前n项之和作为π的近似值.但由于级数收敛的速度非常慢,要取足够多的项才能得到π的较精确的估计值.Р此外文文献选自于:РWalter.Rudin.数学分析原理(英文版)[M].北京:机械工业出版社.
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