对于任意给定的,可以找到,使得当时,成立,则称是函数在点的极限,记为或如果不存在具有上述性质的实数,则称函数在点的极限不存在。上述函数极限的定义可以用数学语言表述为:2.1.2函数极限的几何意义函数在点处极限存在的几何意义,如图所表示,对于给定的,作平行轴的两条直线,,时,函数的曲线总是在这两条平行线之间。2.2.函数极限的分类有了函数极限的定义,为了研究自变量在左侧(或右侧)无限接近与时函数的变化规律,我们引进了函数左右极限的定义。2.2.1单侧极限定义2.2:如果函数在点左侧(右侧)附近(可能不包含点)有定义,为确定的常数,若对于使那么就称为在点的左(右)极限,可表示为或者(或者),函数在点处的左(右)极限也可记为()。函数的左右极限统称为函数的单侧极限。左右极限常常用在求分段函数的在分段点处的极限,并且,左右极限还可以用来求含有绝对值形式的函数极限问题。性质设函数在点的去心邻域有定义,函数极限存在的充分必要条件是左右极限存在且相等即同时成立。2.2.2函数在无穷远处的极限如果函数在趋向于无穷远处有定义时,为了研究函数在或或时的趋势,那么有了以下定义:定义2.3:设函数在上有定义,为某一常数,如果时,成立,那么称函数在处的极限是,记为或者,也可以记作同理可有函数在或者时极限的定义。2.3函数极限存在的准则2.3.1归结原则定义2.4:设在内有定义,存在的充分必要条件是:对且以为极限的数列,极限都存在且相等。也可以简单的叙述为:,则有证明:[必要性]设,于是,使得当时,有另,设数列包含于并且成立,则对上述的,时,有,因此有成立,即证[充分性]对,有,于是可用反证法推导出,事实上,若当时不以为极限,于是(任意小),总,尽管,但是有。依次取,于是存在相应的点使得,而显然数列包含于但是当趋向于时,不趋向于,这与假设相矛盾,因此必有例2.1:证明极限不存在证明:假设于是,显然有:
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