对任给的,存在正整数N,使得当,及任一,有。说明:(1)Cauchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题。(2)Cauchy收敛准则的条件称为Cauchy条件,它反映这样的事实:收敛数列各项的值愈到后面,彼此愈接近,以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数。或者,形象地说,收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起。(3)Cauchy准则把定义中与a的之差换成与之差。其好处在于无需借助数列以外的数a,只要根据数列本身的特征就可以鉴别其(收)敛(发)散性。(4)数列发散的充分必要条件是:存在,对任意的,都可以找到,使得;存在,对任意的,都可以找到,及,使得。例设,证明数列收敛。证明:不妨设,则对任给的,存在,对一切有,由柯西收敛准则知数列收敛。2.1.2函数极限存在条件定理一(单调有界定理):相应于数列极限的单调有界定理,关于上述四类单侧极限也有相应的定理。现以这种类型为例叙述如下:设为定义在上的单调有界函数,则右极限存在。注:(1)设为定义在上的有界函数。若递增,则;若递减,则。(2)设为定义在上的递增函数,则,。定理二(函数极限的柯西收敛准则):设函数在内有定义。存在的充要条件是:任给,存在正数,使得对任何有。注:可以利用柯西准则证明函数极限的不存在:设函数在内有定义。不存在的充要条件是:存在,对任意正数,存在,有。2.2特殊形式的极限2.2.1数列极限的特殊解法研究(1)利用矩阵求解一类数列的极限若数列的递推公式形如且已知,(为常数且,,)解法:将递推公式写成矩阵形式,则有,从而可利用线性代数知识求出的表达式,并进一步求出.若数列的递推公式形如且已知,(且,)解法1.令,则,,从而有,整理得,再由(1)可以求解.解法2.设与关系式对应的矩阵为,由关系式逐次递推,有,其对应的矩阵为,利用数学归纳法易证得,通过计算可求出的表达式,并进一步求出.
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