量.记作.例如,由于,故有~().又因为,故有~().2.2等价无穷小量代换定理设,,在某内有定义,且有.若,则;若,则.证明(1)==.(2)可类似地证明.3等价无穷小量的应用3.1等价无穷小替换法高等数学中常见的等价无穷小量有:当时,~~~~,~,~,~,~,~(是常数).利用等价无穷小量替换法,可以使复杂的函数变得简单.总所周知,利用等价无穷小量替换时,只可对函数的乘积因子作无穷小等价代换,等于代数和形式的函数中各无穷小不能分别代换,可以根据上述的定理进行求解.例1求解当时,~,~.原式==8.例2求解原式===.例3求解当时,~~,则=.同理,=.所以原函数的极限为2.3.2等价无穷小量求解不定式,型极限例4求下列函数的极限(1),(2),(3),.解(1)原式=.(2)原式=.(3)原式=.(4)原式=.(5)原式=.3.3等价无穷小量与洛必达法则结合求解不定式型极限例5求解利用~,则得====.例6求解它是型,按以前的求极限方法,它是不能用等价无穷小来代替,用洛必达法则计算原式=很显然,这个题目直接用洛比达法则求解太繁,我们考虑函数中使用等价无穷小进行化简。注意到:当时,有原式=可见,对一些无法直接使用等价无穷小的极限式直接使用洛比达法则,会造成计算量大甚至有时很难得出结果,通过对函数式的构造变换,再结合使用等价无穷小,就很容易求得答案了.3.4变上限积分的极限常用的变上限积分的等价无穷小有:其中上述等式可以用洛比塔法则直接证明,证明中我们可以看到被积函数之间是等价无穷小,由此可得将被积函数用等价无穷小代换后的变上限积分仍是等价无穷小,即是:定理若当存在,,则。证明由此定理还可以得出如下结论,例如:例7求解原式=例8求解原式=.3.5利用等价无穷小求解幂指函数极限定理设,且证明.例9求解因为,当时,有,所以原式=3.6利用等价无穷小量与Taylor公式求函数极限
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