对t具有连续的一阶导数存在,对具有连续的一阶偏导数存在,且满足如下条件:Р三李亚普诺夫判据Р线性定常系统零平衡状态为渐近稳定的充分必要条件,是对任意给定的一个正定对称矩阵Q,如下形式的李亚普诺夫矩阵方程Р (2)Р有唯一正定对称矩阵解P。Р证明:充分性:考虑系统Р其中,Р令Р如果则大范围渐近稳定。充分性得证。Р再证必要性:已知渐近稳定,欲证解阵P正定。为此,考虑矩阵方程: (3) Р易知,解阵X为Р对式(3)由t=0至t=进行积分,可得Р Р且由系统为渐近稳定知,当有,从而由导出.基此,并考虑到,再表,可将式(3)进而表为Р这就表明, 为李亚谱诺夫方程解阵。且由存在惟一和可知, 存在惟一。而由Р可知为对称。再对任意非零,有(4)Р其中,可表正定,N为非奇异。基此,由式(4)可进而导出:Р Р从而,证得解阵P为惟一正定。证明完毕Р对李亚普诺夫判据作几点说明:Р(1)对(2)式中的Q只要是正定对称矩阵就行,其形式可任意给定。且最终Р的判断与 Q 的不同选取无关。(2)为方便起见,通常选取 Q=I(单位阵),这样可将判据改述为:线性定常系统的平衡状态 X=0 为渐近稳定的充分必要条件为存在一个正定矩阵P ,使满足矩阵方程。(3)当系统矩阵A 给定后,可用(2)式确定 P 。P 正定,平衡状态为渐近稳定。Р例:分析下列系统稳定性Р解: 令Р则由,得:Р Р解上述矩阵方程,有Р即得Р因为Р可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。Р四应用小结Р 本文主要采用了矩阵论中的矩阵初等计算,矩阵的转置,正定实对称矩阵,求解矩阵方程中的推论二(设,且的所有特征值具有负实部,则矩阵方程的惟一解为。如果是Hermite正定矩阵,则解矩阵也是Hermite正定矩阵。)及正定矩阵的判断等知识,来解决线性系统中的稳定性分析问题。这些知识使本来很复杂很抽象的线性系统稳定性的判断变得更简单更直观。
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