矩阵的秩在线性代数中的应用

性方程组,都需要利用矩阵的秩判断解的存在情况.非齐次方程组有解时,可依据定理l结论(2)(3)判断解的个数情况.4矩阵的秩在向量组线性相关性问题中的作用向量组的秩即该向量组极大线性无关组所含向量的个数,而向量组本身所含向量的个数与秩相等,则该向量组线性无关,所含向量个数大于秩,则该向量组线性相关,用求向量组秩的方法判断向量组是否线性相关是判断相关性的常用方法.根据《线性代数》中的结论,矩阵的秩等于矩阵的列(行)秩,列(行)秩即为列(行)向量组的秩,向量组的相关性问题可转换为求矩阵的秩.向量组的秩是由极大线性无关组定义的,而矩阵的秩是由矩阵子式定义的.如果矩阵有一个惭子式不为零,那么该子式所在的行(列)向量组线性无关.如果矩阵某珩(列)向量组线性相关,则该,彳于(列)所选出的晰子式全为零;如果矩阵的某珩(列)向量组线性无关,则该,行(列)所选出的r阶子式至少有一个不为零.5矩阵的秩在二次型问题中的作用二次型的秩定义为其矩阵的秩,任意二次型总可以经非退化线性变换CY化为标准形,而且,还可以经过不同的非退化线性变换化为不同的标准形,但这些标准形中所含平方项的个数是相同的,所含平方项的个数就等于二次型的秩.对于正定二次型,其对称矩阵的顺序主子式全为正数,特征值也全为正数,二次型的正惯性指数等于17.此时,对称矩阵的行列式大干零,显然有rankA=n.反之,若rankA=n,不能推出二次型为正定二次型,这是因为可能有负特征值出现.参考文献[i】罗雪梅,孟艳双,郑艳琳.浅析矩阵的秩[J】.高等数学研究,2003,6(2).【2】严坤妹.一类矩阵的秩【J】.福建商业高等专科学校学报,2005(4).[3】张建业.线性代数中秩与线性方程组的关系[J】.河北工程技术高等专科学校学报,No.3,2005.科技创新导报ScienceendTechnologyInnovationHerald205