.Р 因此,利用可逆矩阵来实现保密通信的另一个问题是,如果加密矩阵选择得不好,密文矩阵的元素长度会急剧膨胀. Р为了避免出现这种情况,加密矩阵A最好满足以下条件:Р对任意的明文矩阵B,密文矩阵C中的每一个元素的长度都不超过明文矩阵B中对应位置上的元素的长度. Р或者退而求其次:Р 对任意的明文矩阵B,密文矩阵C中所有元素的总长度不超过明文矩阵B中所有元素的总长度. Р如果能找到一个加密矩阵,使得对任意的明文矩阵,密文矩阵中所有元素的总长度在一个比较理想的程度上小于明文矩阵中所有元素的总长度,那么这时的加密算法同时也是一种较好的压缩算法. Р3.3 算法优化Р设加密矩阵A为n阶矩阵,明文矩阵B为n阶m列矩阵,利用“向量”的有关知识,密文矩阵C的第i行(行向量)可以表示为Р Ci=Ai1B1+Ai2B2+…+AmBn,Р其中Aij(j=1,2,…,n)为矩阵A的第i行第j列位置上的元素,而Bn则为矩阵B的第n行(行向量). Р显然,密文矩阵的每一个行向量都是明文矩阵的所有行向量的一种线性组合,其组合系数正好是加密矩阵的相应行上的所有元素.Р 根据矩阵乘法的定义直接计算密文矩阵时,计算密文矩阵的每个元素需要做n次乘法和n-1次加法,因此计算整个密文矩阵总共需要mn^2次乘法和mn(n-1)次加法.Р 利用上述线性组合关系来计算密文矩阵时,计算密文矩阵的每行元素需要做mn次乘法和m(n-1)次加法,因此计算整个密文矩阵也总共需要mn^2次乘法和mn(n-1)次加法.Р 但是,如果加密矩阵中含有一定数量的0元素,则利用线性组合来计算密文矩阵就有较大的优势.加密矩阵每增加一个0元素,计算密文矩阵就要少做m次乘法和m次加法.Р 在实际应用中,加密矩阵一般都含有一定数量的0元素.Р4 结束语Р本文作为线性代数应用的一个例子,较为全面地论述了线性代数在保密通信中的应用及其存在的问题与对策等。
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