的一元二次方程为。例5已知在公差为正数的等差数列中,,,求的通项公式。解∵∴从而可设、分别为方程的两个根,且数列的公差为正数,解得:,∴∴由根的判别式,对根的符号特征进行探讨判断一元二次方程根的情况,一般依据根的判别式,有时还得与韦达定理结合,下面三种情况最为常见:?两个正根两个负根?一正一负根例6如果函数图像与轴正半轴有两个交点,求的取值范围。解由题意知:有两个不等的正实数根,设其分别为、,则有:①?即?②③解得:所以的取值范围是:(0,+)2.2韦达定理在解析几何中的应用2.2.1求解与二次曲线弦长有关的问题设直线与曲线相交于、两点,且直线的斜率为,则弦长,同理可得,其中,可根据韦达定理得到。例7若直线与椭圆C:交于、两点,且坐标原点到直线的距离是,求面积的最大值。解设,(1)当直线轴时,.(2)当直线不垂直轴时,设直线方程为。由题意知:,即。直线方程与椭圆方程联立,得:,∴+=,=∴=当时,=当且仅当,即时,成立,此时=当时,=综上:=由题意知:当最大时,面积取最大。∴==2.2.2与中点轨迹有关的问题求直线与曲线相交时的弦的中点或求弦中点的轨迹方程可用韦达定理来求解,若设直线与曲线相交于,两点,其线段中点为,则:,,例8已知双曲线C:与过点的直线交于、,求线段中点的轨迹的方程。解设,,?由题意得:?①②-得:又∵,∴整理得:点的轨迹方程为:2.2.3与向量数量积有关的问题向量是求解有关解析几何问题的一个有力工具,向量数量积是向量运算的重要内容,其平面直角坐标运算公式为:若,则。用向量法来解决有关直线与曲线相交问题时,可将直线方程与曲线方程联立,从而用韦达定理来解有关、或、的表达式的值。例9已知坐标原点是抛物线的顶点,焦点在轴的正半轴上,过的直线与抛物线相交于、两点,且有,求抛物线方程。解设抛物线方程为,直线方程为联立两式整理得:设,,由韦达定理得:∴即∴抛物线方程为
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