,有,取,则,于是由导函数介值性定理,至少存在一点,使得.定理12设函数在内可导,,,则至少存在一点,使得.(为常数).证明因为,故存在,对,有,又因为,则对任意的,存在,对,有,取,则,于是由导函数介值性定理,至少存在一点,使得.定理13设函数在内可导,,,且,则至少存在一点,使得.(为常数).证明因为,故,有,又因为,故,有,取,则,又由已知知介于与之间,于是由导函数介值性定理,至少存在一点,使得.定理11、定理12、定理13可统一为:定理14设函数在内可导,,,且,则至少存在一点,使得.(为常数).定理15设函数在内可导,,,则至少存在一点,使得.(为常数).证明因为,故对任意的,存在,对,有,又因为,故存在,对,有,取,则,于是由导函数介值性定理,至少存在一点,使得.定理16设函数在内可导,,,则至少存在一点,使得.(为常数).证明因为,故存在,对,有,又因为,故对任意的,存在,对,有,取,则,于是由导函数介值性定理,至少存在一点,使得.定理17设函数在内可导,,,为介于到之间的任一实数,则至少存在一点,使得.证明因为,故对任意的,存在,对,有,又因为,故对任意的,存在,对,有,取,则,又由已知知介于与之间,于是由导函数介值性定理,至少存在一点,使得.定理15、定理16、定理17可统一为:定理18设函数在内可导,,,且,则至少存在一点,使得.(为常数).定理19设函数在内可导,,,则至少存在一点,使得.(为常数).证明因为,故对任意的,存在,对,有,又因为,故存在,对,有,取,则,于是由导函数介值性定理,至少存在一点,使得.定理20设函数在内可导,,,则至少存在一点,使得.(为常数).证明因为,故存在,对,有,又因为,故对任意,存在,对,有,取,则,于是由导函数介值性定理,至少存在一点,使得.定理21设函数在内可导,,,为介于到之间的任一实数,则至少存在一点,使得.
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